Wo liegen alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten
jeweils den gleichen Abstand haben?
Vorüberlegung:
Im folgenden Fenster können Sie die Positionen für den Punkt C suchen,
in denen er von A und B den gleichen Abstand hat:
Ziehen Sie dazu den Punkt C über die Zeichenfläche und...
...beobachten Sie dabei die beiden Abstandsmaße:
Wenn Sie es schaffen, den Punkt C so über die Zeichenfläche zu bewegen, dass er dabei von A und von B stets den gleichen Abstand hat, dann können Sie erreichen, dass der Punkt C dabei eine "Spur" hinterlässt:
wählen Sie dazu das Werkzeug "Ortslinie aufzeichnen",
klicken Sie nun den Punkt C kurz an,
packen Sie ihn dann mit der Zange....
...und ziehen Sie ihn über das Blatt.
Welche "Kurve" beschreibt der Punkt dabei, wenn er stets von A und B gleich weit entfernt sein soll?
Wenn Sie das erkannt haben, können Sie eine solche "Kurve" konstruieren (Werkzeug "Gerade durch 2 Punkte") und dafür sorgen, dass der Punkt C sich nun genau auf dieser Linie bewegt, indem Sie ihn "an diese Linie binden":
klicken Sie mit der rechten Maustaste auf den Punkt C;
das "Kontextmenü" des Punktes C erscheint; wählen Sie "Punkt an Linie binden";
klicken Sie auf die Linie, an die der Punkt C gebunden werden soll!
Nun springt der Punkt auf diese Linie und kann sich dann nur noch auf ihr bewegen. Überprüfen Sie nun, ob C jetzt wirklich immer von A und B den gleichen Abstand hat. Möglicherweise müssen Sie ihre "Kurve" noch etwas nachjustieren...
Konstruktion:
Alle Punkte, die von A und B jeweils gleichweit entfernt sind, liegen auf einer Geraden.Wie kann man diese Gerade konstruieren? Offenbar genügt es, wenn man zwei ihrer Punkte konstruiert, denn dann ist die Gerade ja schon eindeutig festgelegt. Aber wie macht man das, wenn man nur Zirkel und Lineal einsetzen darf?
Nun, Sie wissen sicherlich, dass alle Punkte, die von A einen bestimmten Abstand haben, auf einem Kreis um A liegen, der diesen Abstand als Radius hat. Wir müssten also einen Kreis um A zeichnen mit einem geeigneten Radius, und dann um B ebenfalls einen Kreis mit demselben Radius. Dies können wir leicht erreichen, wenn wir die Strecke [AB] als Radius-Strecke der beiden Kreise nehmen. Wenn Sie die beiden Kreise konstruiert haben, müssen Sie zunächst noch ihre Schnittpunkte S und T konstruieren (Werkzeug "Schnittpunkt(e) zweier Linien"), bevor Sie die Gerade durch diese beiden Schnittpunkte zeichnen können (Werkzeug "Gerade durch 2 Punkte").
Führen Sie die Konstruktion in der folgenden Zeichnung durch:
Sie können nun leicht überprüfen, ob Ihre Kontruktion korrekt ist:
Ziehen Sie dazu einfach an den Punkten A und B.
Sind alle Punkte C auf der Geraden (ST) stets gleich weit von A und B entfernt?
Wenn Sie in der obigen Zeichnung die Gerade durch die beiden Schnittpunkte S und T mit g benennen (im Kontextmenü "Objekt benennen" wählen) und dann noch die Gerade h durch die beiden Punkte A und B einzeichnen, dann sehen Sie, dass g und h senkrecht aufeinander stehen. Der Schnittpunkt M von g und h liegt in der Mitte zwischen A und B -- das ist klar, weil er nämlich auf g liegt, und alle Punkte auf g sind von A und B jeweils gleich weit entfernt!
Definition:
Die Gerade, auf der alle Punkte liegen, die von zwei gegebenen (verschiedenen) Punkten A und B jeweils den gleichen Abstand haben, heisst die Mittelsenkrechte der Strecke [AB].
Zusammenfassung:
Gegeben: zwei (verschiedene) Punkte A und B Gesucht: eine Gerade g, deren Punkte alle von A und B jeweils den gleichen Abstand haben Konstruktionsbeschreibung:
k1 ist ein Kreis um A durch B
k2 ist ein Kreis um B durch A
S und T sind die Schnittpunkte der Kreise k1 und k2
g ist die Gerade durch S und T
Zum Weiterdenken:
Man muss in der obigen Konstruktion der Mittelsenkrechten nicht unbedingt den Abstand der Punkte A und B als Kreisradius verwenden. Allerdings gibt es eine Untergrenze für den verwendbaren Radius: wie groß muss der Radius wohl mindestens sein?
Gibt es auch eine Obergrenze?
Der Schnittpunkt M liegt auch in der Mitte zwischen S und T, aber das ist noch nicht so ganz klar. Können Sie die Zeichnung so ergänzen, dass man einsehen kann, dass das wirklich immer so sein muss?
